ما هي المتطابقات الشهيرة

علم المثلثات

هو أحد أهم فروع علم الرياضيات، والذي يعنى بدراسة العلاقات داخل المثلث، وهو ذلك الشكل الهندسي الذي يتكون من ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا، ويعد هذا العلم من أقدم العلوم حيث حظي باهتمام خاص من قبل المصريين القدماء، واستعانوا به في بناء الأهرامات، وحساب الزوايا، كما تناول الكثير من العلماء هذا العلم، ووضعوا العديد من القوانين الخاصة به، والأسس التي يتم بها حساب مساحة المثلث، ومعرفة قياس زواياه من خلال ما يسمى بالنسب المثلثية، ونظرية فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية، وهناك متطابقات رياضية خاصة بالمثلثات، فماهي المتطابقات الشهيرة؟

المتطابقات الشهيرة

تعرف المطابقات الرياضية على أنها مجموعة من المتساويات، أي المعادلات التي تحتوي على إشارة مساواة بين طرفيها، وتحتوي هذه المعادلات على دالة أو أكثر من الدالات المثلثية، حيث يمكن استخدامها في إيجاد قياس الزوايا داخل المثلث، وإيجاد قيمة دالة مثلثية بالاعتماد على العلاقة بين الدوال المثلثية ضمن هذه المتطابقات، أو من خلال القوانين التي تخص هذه الدوال في علم المثلثات، كما يمكن الاستفادة منها في حل المعادلات الرياضية بالاعتماد على قياس الزوايا وعلاقة ذلك بطول أضلاع المثلث.

أشهر الدوال المثلثية

هناك العديد من الدوال المثلثية والتي يمكن الاستفادة منها في تحديد قيمة الزاوية، أو الاعتماد عليها في تحديد طول ضلع في مثلث ما، ومن أهمها ما يلي:

• جيب الزاوية: ويرمز له بالرمز جا(س)، أي جيب الزاوية س
  ومن الناحية الرياضية فإن جيب الزاوية= طول الضلع المقابل للزاوية/ طول وتر المثلث
• جيب تمام الزاوية: ويرمز له بالرمز جتا(س)، أي جيب تمام الزاوية س
  ومن الناحية الرياضية فإن جيب تمام الزاوية= طول الضلع المجاور للزاوية/ طول وتر المثلث
• ظل الزاوية: ويرمز له بالرمز ظا(س)، أي ظل الزاوية س
  ومن الناحية الرياضية فإن ظل الزاوية= طول الضلع المقابل للزاوية/طول الضلع المجاور لها

أشهر متطابقات الدوال المثلثية

فيما يلي ذكر لأهم المتطابقات المثلثية وعلاقتها بالدوال، ومن أهم هذه المتطابقات ما يلي:

• جا²س + جتا²س = 1
• جا(-س) = -جا(س )
• جتا(-س) = جتا(هـ)
• ظا(-س) = -ظاس
• ظتا²س = قتا² – 1
• قا²س =ظا²س + 1
• جا²س = 1-جتا²س
• جا( س± ص ) = جاس جتاص ± جتاس جاص
• جتا (س±ص ) = جتاس جتاص ( عكس الإشارة ) جاس جاص
• جا2س = 2جاس جتاس
• جا²س = ½( 1 – جتا2س )
• جتا²س = ½( 1 + جتا2س )

كيفية استخدام المتطابقات المثلثية في التطبيق الرياضي

فيما يلي سيتم حل سؤال رياضي باستخدام أول المتطابقات المثلثية الواردة أعلاه، وسيتم بيان كيفية الاستفادة منها في الحصول على معلومات تتعلق بحساب زوايا المثلثات اعتمادًا على النسب المثلثية المعروفة.

سؤال: إذا كان قيمة جتا²س=3/4، فما قياس الزاوية س؟

بالاعتماد على المتطابقةجا²س + جتا²س = 1

من خلال التعويضالمباشر ينتج أنجا²س +3/4= 1

جا²س = 1-3/4

جا²س = 1/4

وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين نجد أن

جاس = 1/2

وحيث أن جا 30 = 1/2

فإن قياس الزاوية س=30 درجة.

ما هي المتطابقات الشهيرة .